Mathematik I f ̈ ur inf/swt PD Dr. P.H. Lesky P ( N ) ist gleich m ̈ achtig wie R 1. Vorbemerkung: Die Relation “ist gleich m ̈ achtig wie” ist eine ̈ Aquivalenzrelation auf der Menge aller Mengen. Insbesondere ist diese Relation tra nsitiv: A gleich m ̈ achtig B ∧ B gleich m ̈ achtig C ⇒ A gleich m ̈ achtig C 2. Sei M 1 die Menge aller 0-1-Folgen: M 1 := ( a n ) n ∈ N ∀ n ∈ N : a n = 0 ∨ a n = 1 Wir zeigen: M 1 und P ( N ) sind gleich m ̈ achtig: Die Abbildung f : P ( N ) → M 1 : M 7→ ( a n ) mit a n := 1 falls n ∈ M , a n := 0 falls n 6∈ M ist offensichtlich bijektiv. 3. Nun soll gezeigt werden, dass M 1 gleichm ̈ achtig wie M 2 := [0 , 1[ ist. Wir verschieben das auf sp ̈ ater und zeigen jetzt, dass M 2 gleichm ̈ achtig wie M 3 :=]0 , 1[ ist. Hier ver- wenden wir eine einfache Version des Arguments, das sp ̈ ater beim Beweis von “ M 1 gleichm ̈ achtig wie M 2 ” verwendet wird. Definiere f : [0 , 1[ → ]0 , 1[: x 7→    1 2 falls x = 0 1 2 j +1 falls x = 1 2 j f ̈ ur ein j ∈ N x sonst Das bedeutet: 0 7→ 1 2 , 1 2 7→ 1 4 , 1 4 7→ 1 8 , . . . und alle x , die nicht als 0 oder 1 2 j dargestellt werden k ̈ onnen, werden auf sich selbst abgebildet. Die Abbildung ist offensichtlich bijektiv. 4. Dass M 3 :=]0 , 1[ gleichm ̈ achtig wie R ist, sieht man an der Abbildung f :]0 , 1[ → R : x 7→ tan π ( x − 1 2 ) oder an der Abbildung ̃ f :]0 , 1[ → R : x 7→ 1 x ( x − 1) . Datei: /hm/mathe-inf/Zusatzmaterial/maechtigkeit